হোম
উচ্চতর গণিত
গণিত

এইচএসসি গণিত – সেট তত্ত্ব (সম্পূর্ণ সংক্ষিপ্তসার ও সূত্র)

এইচএসসি গণিত – সেট তত্ত্ব (সম্পূর্ণ সংক্ষিপ্তসার ও সূত্র)

এইচএসসি গণিত – সেট তত্ত্ব (সম্পূর্ণ সংক্ষিপ্তসার ও সূত্র)

স্বাগতম! আজ আমরা সেট তত্ত্ব নিয়ে বিস্তর আলোচনা করবো। আপনি যদি একজন শিক্ষার্থী হয়ে থাকেন এবং পরীক্ষায় ভালো করতে চান, তাহলে এই পোস্টটি আপনার জন্য অত্যন্ত কার্যকরী। এখানে থাকবে: সংজ্ঞা, শ্রেণীবিভাগ, ভেন ডায়াগ্রাম, সূত্র, উদাহরণ এবং প্রশ্নোত্তর সহ টিপস।

📚 সেট (Set) কী?

সাধারণভাবে, সেট হলো কিছু নির্দিষ্ট, পৃথক, সুস্পষ্ট ও সুনির্দিষ্ট উপাদানের একটি সংগ্রহ। এটি গণিতে একটি মৌলিক ধারণা।

যেমন:

  • A = {1, 2, 3, 4} — এখানে A সেটে ৪টি সংখ্যা আছে।
  • B = {x : x একটি বাঙালি কবির নাম} — এখানে B একটি বর্ণনামূলক সেট।

সেট প্রকাশের দুইটি উপায়:

  1. Roster Method: উপাদানগুলো একটি বন্ধনীর মধ্যে তালিকা আকারে দেওয়া হয়। যেমন: A = {2, 4, 6, 8}
  2. Set-builder Method: একটি শর্ত দিয়ে উপাদানগুলো প্রকাশ করা হয়। যেমন: B = {x : x একটি ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা, x ∈ ℕ}

✅ সেটের প্রকারভেদ

সেট বিভিন্নভাবে শ্রেণিবদ্ধ করা যায়। নিচে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ প্রকার দেখানো হলো:

  • সসীম সেট (Finite Set): যার উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট। যেমন: A = {1, 2, 3}
  • অসসীম সেট (Infinite Set): যার উপাদান সংখ্যা অনন্ত। যেমন: B = {x ∈ ℕ}
  • শূন্য সেট (Null Set): যার কোনো উপাদান নেই। চিহ্ন: ∅ বা { }
  • একক সেট (Singleton Set): যার মাত্র একটি উপাদান আছে। যেমন: C = {π}
  • উপসেট (Subset): A ⊆ B → A সেটের প্রতিটি উপাদান যদি B-তে থাকে
  • সার্বিক সেট (Universal Set): যেখানে সব সেটের উপাদান থাকে। সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
  • সাম্য সেট (Equal Sets): A = B → যদি A ও B এর উপাদান অভিন্ন হয়
  • সঙ্গত সেট (Equivalent Sets): যদি দুটি সেটের উপাদান সংখ্যা সমান হয়

🔢 সেটের ধরন (Types of Sets)

১. সসীম সেট (Finite Set):

যে সেটে উপাদানের সংখ্যা নির্দিষ্ট ও গণনা করা যায় তাকে সসীম সেট বলে।

উদাহরণ: A = {2, 4, 6, 8} → এখানে উপাদান সংখ্যা ৪টি।

২. অসীম সেট (Infinite Set):

যে সেটে উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট নয় বা গণনা করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে।

উদাহরণ: B = {1, 2, 3, 4, 5, …} → প্রাকৃতিক সংখ্যা সমূহের সেট।

৩. সাবসেট (Subset):

যদি একটি সেট A-এর প্রত্যেকটি উপাদান সেট B-তেও থাকে, তবে A কে B এর সাবসেট বলা হয়।

চিহ্ন: A ⊆ B

উদাহরণ: A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} → A ⊆ B

৪. সমান সেট (Equal Set):

যদি দুটি সেটের উপাদান একই হয়, তাহলে সেটদ্বয় সমান সেট বলে গণ্য হয়।

উদাহরণ: A = {a, b, c}, B = {b, c, a} → A = B

৫. খালি সেট (Empty/Null Set):

যে সেটে কোনো উপাদান নেই, তাকে খালি সেট বলা হয়।

চিহ্ন: φ বা { }

উদাহরণ: P = {x : x > 0 এবং x < 0} → P = φ

৬. একক সেট (Singleton Set):

যে সেটে মাত্র একটি উপাদান থাকে, তাকে একক সেট বলে।

উদাহরণ: A = {5}

৭. সার্বিক সেট (Universal Set):

যে সেটে আলোচ্য সকল উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাকে সার্বিক সেট বলা হয়।

চিহ্ন: U

উদাহরণ: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

🔢 উপসেট বিষয়ক তথ্য

  • n টি উপাদান থাকলে মোট উপসেট হবে: 2n
  • যেকোনো সেট নিজেই তার উপসেট
  • শূন্য সেট প্রত্যেক সেটের উপসেট

📐 গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

পরীক্ষায় সরাসরি সূত্রের উপর ভিত্তি করে প্রশ্ন আসে, তাই নিচের সূত্রগুলো মুখস্থ রাখা অত্যন্ত জরুরি।

  • উপসেট সংখ্যা: 2n, যেখানে n = উপাদানের সংখ্যা
  • ছেদ (Intersection): A ∩ B = A ও B উভয়ের সাধারণ উপাদান
  • সংযুক্তি (Union): A ∪ B = A অথবা B এর সব উপাদান
  • পরিপূরক: A′ = U − A
  • উপাদান সংখ্যা সূত্র: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
  • ডি-মরগান সূত্র ১: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
  • ডি-মরগান সূত্র ২: (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

📊 ভেন চিত্র

সেট তত্ত্ব



ভেন ডায়াগ্রাম হলো সেট তত্ত্ব বোঝানোর একটি চিত্রভিত্তিক উপায়। এটি সাধারণত বৃত্ত দিয়ে উপস্থাপন করা হয়।

ভেন চিত্রের সাহায্যে নিচের বিষয়গুলো সহজে ব্যাখ্যা করা যায়:

  • দুই সেটের সংযুক্তি ও ছেদ
  • তিনটি সেটের সম্পর্ক
  • পরিপূরক সেট
  • ডি-মরগান সূত্র যাচাই

📘 সেটের উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র

১. দুটি সেটের জন্য:

সুত্র: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

২. তিনটি সেটের জন্য:

সুত্র:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

📝 উদাহরণ সমস্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1,2,3,4} এবং B = {3,4,5,6} হয়, তবে A ∩ B এবং A ∪ B নির্ণয় কর।

উত্তর:

  • A ∩ B = {3, 4} — সাধারণ উপাদান
  • A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — সব উপাদান একত্রে

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৫০ জন ছাত্রের মধ্যে ২৫ জন বাংলা পড়ে, ৩০ জন ইংরেজি পড়ে এবং ১০ জন উভয় বিষয় পড়ে। কতজন ছাত্র অন্তত একটি বিষয় পড়ে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(A) = 25, n(B) = 30, n(A ∩ B) = 10
⇒ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 25 + 30 − 10 = 45

📚 আরও উদাহরণ অনুশীলন

  1. U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A = {2,4,6,8}, B = {1,2,3,4} হলে:
    • A ∪ B নির্ণয় কর
    • A ∩ B নির্ণয় কর
    • A′ নির্ণয় কর
  2. A = {x : x একটি বিজোড় সংখ্যা ≤ 10}, B = {x : x একটি মৌলিক সংখ্যা ≤ 10} হলে A ∩ B ও A ∪ B নির্ণয় কর।

🧠 পরীক্ষার প্রস্তুতির টিপস

  • ভেন চিত্র আঁকার অভ্যাস করুন প্রতিদিন
  • উপসেট, পরিপূরক, ছেদ – এই ধারণাগুলো পরিষ্কারভাবে বুঝুন
  • HSC পরীক্ষায় বিগত বছরের প্রশ্ন সমাধান করুন
  • নিচের সূত্রগুলো বারবার লিখে চর্চা করুন:
    • A ∪ A′ = U
    • A ∩ A′ = ∅
    • (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
    • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

📥 PDF নোট ডাউনলোড (ইংরেজী ভার্সন)

👉 এখান থেকে সেট তত্ত্বের PDF নোট ডাউনলোড করুন

পোস্টটি ভালো লাগলে শেয়ার করতে ভুলবেন না। আপনার মতামত বা প্রশ্ন নিচের কমেন্টে জানান।

লেখক পরিচিতি:

আরিফিন আকাশ
প্রভাষক(গণিত) ও Mathcheap এর স্বত্বাধিকারী
গণিত, বিজ্ঞান, ও প্রযুক্তি বিষয়ক লেখক।
ওয়েবসাইট: www.mathcheap.com
Facebook: facebook.com/mathcheap

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

ভদ্রতা বজায় রেখে কমেন্ট করার জন্য ধন্যবাদ