অধ্যায়–2: লরেঞ্জ রুপান্তর (Masters – Lorentz Transformations)
এই পোস্টে “আপেক্ষিক তত্ত্ব (মাস্টার্স)” বইয়ের অধ্যায়–২ এর সূচিপত্রসহ ২.১ থেকে ২.১০ পর্যন্ত সকল বিষয় ধাপে ধাপে আলোচনা করা হয়েছে—ধারনা, পটভূমি, প্রধান পরীক্ষা, ও গাণিতিক রূপান্তরগুলোর মৌলিক রূপসহ।
2.1 বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের স্বীকার্যসমূহ (Postulates of the Special Theory of Relativity)
আলবার্ট আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব দুটি মূল স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে দাঁড়িয়েছে:
- আপেক্ষিকতার নীতি (Principle of Relativity): প্রকৃতির সমস্ত নিয়ম (laws of physics) সকল জড় প্রেক্ষ কাঠামোতে একই রকম।
- আলোর বেগ ধ্রুবক: শূন্যস্থানে আলোর বেগ সর্বদা ধ্রুবক, অর্থাৎ \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \), যা পর্যবেক্ষকের গতি দ্বারা প্রভাবিত হয় না।
গানিতিক সমস্যা:
যদি একটি মহাকাশযান \( 0.6c \) বেগে চলতে থাকে, তাহলে আলোর গতি পর্যবেক্ষকের জন্য কত হবে?
সমাধান:
আইনস্টাইনের দ্বিতীয় স্বীকার্য অনুসারে, আলোর বেগ সর্বদা \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)। সুতরাং, পর্যবেক্ষক আলোর বেগ সর্বদা \( 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \) হিসেবেই মাপবে।
গাণিতিক সমস্যা:
একটি জড় প্রেক্ষ কাঠামোতে একসাথে দুটি ঘটনা ঘটছে। অন্য একটি দ্রুতগামী কাঠামোতে কি এগুলো একই সাথে ঘটবে?
সমাধান:
বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুযায়ী “simultaneity” আপেক্ষিক। অর্থাৎ এক কাঠামোতে একসাথে ঘটলেও, অন্য কাঠামোতে একসাথে নাও ঘটতে পারে। এটি সময় সম্প্রসারণ ও দৈর্ঘ্য সঙ্কোচন সূত্র দিয়ে প্রমাণ করা যায় (পরে 2.8 অধ্যায়ে বিস্তারিত)।
2.2 লরেঞ্জ রূপান্তর সমীকরণ (Lorentz Transformation Equations)
যদি দুটি জড় প্রেক্ষ কাঠামো থাকে, \( S \) এবং \( S' \)। ধরা যাক, \( S' \) কাঠামোটি \( S \)-এর আপেক্ষিক \( v \) বেগে \( x \)-অক্ষ বরাবর চলমান। তখন স্থান ও সময়ের মধ্যে সম্পর্ক হবে লরেঞ্জ রূপান্তর দ্বারা:
\[ x' = \gamma (x - vt), \quad t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad y' = y, \quad z' = z \]
যেখানে, \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) হলো Lorentz factor।
গাণিতিক সমস্যা:
যদি \( v = 0.8c \) হয় এবং কোনো ঘটনা \( S \) কাঠামোতে \( (x=300 \, m, t=1 \, \mu s) \) এ ঘটে, তবে \( S' \)-এ স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = 1.667
\]
\[
x' = \gamma (x - vt) = 1.667 \big(300 - 0.8c \times 10^{-6}\big)
\]
যেহেতু \( c = 3 \times 10^8 \),
\[
vt = 0.8 \times 3 \times 10^8 \times 10^{-6} = 240
\]
সুতরাং,
\[
x' = 1.667 (300 - 240) = 100 \, m
\]
গাণিতিক সমস্যা:
যদি \( v = 0.6c \), তবে Lorentz factor \(\gamma\) এর মান কত?
সমাধান:
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.64}} = 1.25 \]
2.3 বিপরীত লরেঞ্জ রূপান্তর সমীকরণ (Inverse Lorentz Transformation Equations)
বিপরীত সমীকরণগুলো তখন ব্যবহৃত হয় যখন \( S' \) থেকে \( S \) কাঠামোতে রূপান্তর করতে হয়। সমীকরণগুলো হবে:
\[ x = \gamma (x' + vt'), \quad t = \gamma \left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right), \quad y = y', \quad z = z' \]
গাণিতিক সমস্যা:
যদি \( v = 0.8c \) এবং \( S' \) কাঠামোতে একটি ঘটনা \( (x'=100 \, m, t'=1 \, \mu s) \) হয়, তবে \( S \)-এ স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[
\gamma = 1.667
\]
\[
x = \gamma (x' + vt') = 1.667 (100 + 0.8 \times 3 \times 10^8 \times 10^{-6})
\]
\[
vt' = 240 \, m
\]
\[
x = 1.667 (100 + 240) = 566.7 \, m
\]
গাণিতিক সমস্যা:
\( v = 0.5c \), \( x' = 200m, t' = 2 \, \mu s \) হলে \( S \)-এ সময় নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0.25}} = \frac{1}{\sqrt{0.75}} \approx 1.155
\]
\[
t = \gamma \left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)
\]
\[
= 1.155 \left(2\times 10^{-6} + \frac{0.5 \times 3 \times 10^8 \times 200}{(3 \times 10^8)^2}\right)
\]
\[
= 1.155 \left(2\times 10^{-6} + \frac{3 \times 10^{10}}{9 \times 10^{16}}\right)
\]
\[
= 1.155 (2\times 10^{-6} + 3.33 \times 10^{-7}) \approx 2.68 \times 10^{-6} \, s
\]
2.4 গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতার নীতি
গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতার নীতি অনুযায়ী – সব জড় প্রেক্ষ কাঠামোতে যান্ত্রিক সূত্রগুলো অভিন্ন থাকে।
উদাহরণ: একটি ট্রেন সমবেগে চলছে। যাত্রী যদি একটি বল উপরের দিকে ছোড়ে, তবে সেটা যাত্রীর কাছে সরলরেখায় উপর-নিচে চলতে দেখা যাবে।
গাণিতিক প্রকাশ:
ট্রেনের প্রেক্ষিতে বলের স্থানাঙ্ক: \[ x' = x - vt \] এখানে \(v\) ট্রেনের বেগ।
গাণিতিক সমস্যা:
একটি ট্রেন পূর্বদিকে 20 m/s বেগে চলছে। ট্রেনের ভেতর থেকে একজন যাত্রী বলটি 10 m/s বেগে উপরের দিকে ছুড়ে দিল। বাইরের একজন স্থির পর্যবেক্ষকের কাছে বলের প্রকৃত পথ নির্ণয় কর।
সমাধান:
গ্যালিলীয় রূপান্তর অনুযায়ী:
\[ x' = x - vt, \quad y' = y \]
বলের অনুভূমিক বেগ হবে ট্রেনের বেগ = \(u_x = 20 \, m/s\)।
উল্লম্ব গতি হবে মুক্তপতন সূত্র অনুযায়ী:
\[ y = u_y t - \tfrac{1}{2} g t^2 = 10t - 4.9t^2 \]
তাই বাইরের পর্যবেক্ষক বলটিকে প্যারাবলিক পথে চলতে দেখবে।
2.5 নিউটনের গতি সূত্র
নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী – কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বল \(F\) হলে, \[ F = ma \]
উদাহরণ: ভর \(m=5 \, \text{kg}\) এর একটি বস্তুর ত্বরণ \(a=2 \, \text{m/s}^2\)।
সমাধান: \[ F = ma = 5 \times 2 = 10 \, \text{N} \]
গাণিতিক সমস্যা:
একটি 5 kg ভরের বস্তুকে একটি স্প্রিং (spring constant \(k=200 \, N/m\)) এর সাথে যুক্ত করা হলো। বস্তুটি সাম্য অবস্থান থেকে 0.1 m সরানো হলো। এর সর্বাধিক ত্বরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
স্প্রিং ফোর্স: \[ F = -kx = -200 \times 0.1 = -20 \, N \]
নিউটনের সূত্রে: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{-20}{5} = -4 \, m/s^2 \]
তাই সর্বাধিক ত্বরণ হবে \(4 \, m/s^2\)।
2.6 গ্যালিলীয় রূপান্তরের সীমাবদ্ধতা
গ্যালিলীয় রূপান্তর আলোর বেগের জন্য সঠিক নয়। কারণ, গ্যালিলীয় রূপান্তর অনুযায়ী বেগ যোগ হয়: \[ u' = u - v \] কিন্তু আলোর ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য নয়, কারণ পরীক্ষায় দেখা যায় \(c\) সর্বত্র ধ্রুব।
গাণিতিক সমস্যা:
ধরো একটি মহাকাশযান 0.8c বেগে চলছে এবং এর ভেতর থেকে একটি লেজার রশ্মি মহাকাশযানের চলার দিকেই ছোঁড়া হলো। গ্যালিলীয় রূপান্তর অনুযায়ী বাইরের পর্যবেক্ষক আলোর বেগ কত দেখবে?
সমাধান:
গ্যালিলীয় রূপান্তরে:
\[ u' = u + v = c + 0.8c = 1.8c \]
কিন্তু এটি বাস্তবে অসম্ভব, কারণ আলোর বেগ সর্বদা \(c\)। এটাই সীমাবদ্ধতা।
2.7 ফিজোর পরীক্ষা
ফিজোর পরীক্ষায় পানিতে আলোর বেগের আংশিক টান প্রমাণিত হয়।
আলোর কার্যকর বেগ: \[ v = \frac{c}{n} + v_{water}\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \] এখানে \(n\) হলো মাধ্যমের প্রতিসরণাঙ্ক।
গাণিতিক সমস্যা:
পানির প্রতিসরাঙ্ক \(n = 1.33\), পানির প্রবাহের বেগ \(v = 20 \, m/s\)। শূন্যস্থানে আলোর বেগ \(c = 3 \times 10^8 \, m/s\)। পানিতে আলোর কার্যকর বেগ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ফিজোর সূত্র:
\[ v_{eff} = \frac{c}{n} + v\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \]
\[ v_{eff} = \frac{3 \times 10^8}{1.33} + 20\left(1 - \frac{1}{1.33^2}\right) \]
\[ v_{eff} \approx 2.26 \times 10^8 + 11.7 \approx 2.26 \times 10^8 \, m/s \]
2.8 মাইকেলসন–মর্লে পরীক্ষা
এই পরীক্ষায় প্রমাণ হয় যে আলো সব দিকেই একই বেগে চলে এবং "ঈথার" নেই।
পরীক্ষার প্রত্যাশিত পথ পার্থক্য ছিল: \[ \Delta t = \frac{Lv^2}{c^3} \] কিন্তু বাস্তবে তা শূন্য পাওয়া যায়।
গাণিতিক সমস্যা:
মাইকেলসন–মর্লে ইন্টারফেরোমিটারের বাহুর দৈর্ঘ্য 10 m, পৃথিবীর কক্ষপথে গড় বেগ \(v = 3\times10^4 \, m/s\)। প্রত্যাশিত সময় পার্থক্য নির্ণয় কর।
সমাধান:
সূত্র:
\[ \Delta t = \frac{Lv^2}{c^3} \]
\[ \Delta t = \frac{10 \times (3\times10^4)^2}{(3\times10^8)^3} \]
\[ \Delta t = \frac{9\times10^9}{2.7\times10^{25}} \approx 3.3\times10^{-16} \, s \]
এই ক্ষুদ্র সময় পার্থক্য পরিমাপযোগ্য নয় → ফলাফল শূন্য।
2.9 নেতিবাচক ফলাফলের ব্যাখ্যা
মাইকেলসন–মর্লে পরীক্ষার নেতিবাচক ফলাফলের ব্যাখ্যা দিতে লোরেন্জ দৈর্ঘ্য সংকোচন ধারণা দেন: \[ L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]
গাণিতিক সমস্যা:
একটি 1 m দৈর্ঘ্যের দণ্ড 0.6c বেগে চললে তার দৈর্ঘ্য কত দেখা যাবে?
সমাধান:
\[ L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]
\[ L = 1 \times \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8 \, m \]
2.10 পরম গতি ধারণা
নিউটনের মতে, "পরম গতি" বা Absolute Motion বিদ্যমান। কিন্তু আপেক্ষিকতা তত্ত্ব প্রমাণ করে যে কোনো পরম গতি নেই।
কেবলমাত্র আপেক্ষিক গতি নির্ণয় করা সম্ভব: \[ v_{AB} = v_A - v_B \]
গাণিতিক সমস্যা:
দুটি মহাকাশযান বিপরীত দিকে 0.7c বেগে চলছে। একটি মহাকাশযান থেকে অপরটির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় কর।
সমাধান:
আপেক্ষিকতা সূত্রে:
\[ u' = \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}} \]
\[ u' = \frac{0.7c+0.7c}{1+0.49} = \frac{1.4c}{1.49} \approx 0.94c \]
অর্থাৎ আপেক্ষিক বেগ কখনোই \(c\) অতিক্রম করে না।
উপসংহার
আপেক্ষিক তত্ত্বের ভিত্তি নির্মাণে দ্বিতীয় অধ্যায়ের আলোচনা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এখানে আমরা গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতার নীতি থেকে শুরু করে নিউটনের সূত্র, গ্যালিলীয় রূপান্তরের সীমাবদ্ধতা, ফিজোর পরীক্ষা, মাইকেলসন–মর্লে পরীক্ষা এবং তার নেতিবাচক ফলাফলের ব্যাখ্যা নিয়ে বিস্তারিত ধারণা পেয়েছি। এই আলোচনার মাধ্যমে স্পষ্ট হয়েছে যে, আলোর বেগ সর্বদা ধ্রুব এবং গ্যালিলীয় রূপান্তর আলোর গতির ক্ষেত্রে কার্যকর নয়।
মাইকেলসন–মর্লে পরীক্ষার ব্যর্থতা আমাদেরকে শিখিয়েছে যে প্রকৃতিতে কোনো "ঈথার" বা পরম প্রেক্ষ কাঠামো বিদ্যমান নেই। এ কারণে "পরম গতি" ধারণা বিজ্ঞানের ইতিহাসে ধীরে ধীরে পরিত্যাজ্য হয়েছে। এর পরিবর্তে লোরেন্জ দৈর্ঘ্য সংকোচন এবং আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতার তত্ত্ব উদ্ভব হয়, যা পরবর্তীতে আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের অন্যতম মূল ভিত্তি হয়ে দাঁড়ায়।
সারসংক্ষেপে বলা যায়—এই অধ্যায়টি আপেক্ষিক তত্ত্বের প্রাথমিক দর্শন ও পরীক্ষামূলক ভিত্তি স্পষ্ট করে। এখান থেকেই আমরা বিশেষ আপেক্ষিকতার পথে যাত্রা শুরু করি, যা পরবর্তী অধ্যায়গুলোতে বিস্তারিতভাবে প্রতিফলিত হবে।